operasi dalam matriks

14 oct 2011

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Jika matriks A dan B mempunyai ordo (dimensi) yang sama, maka

• penjumlahan A + B adalah sebuah matriks yang diperolah dengan cara menjumlahkan setiap elemen A dengan setiap elemen B yang seletak.
• pengurangan A − B adalah sebuah matriks yang diperolah dengan cari mengurangkan setiap elemen B dari setiap element A yang seletak.

Jika A =	a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a41 a42 … amn	dan B =	b11 b12 … b1n b21 b22 … b2n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b41 b42 … bmn
A + B =	a11+b11 a12+b12 … a1n+b1n a21+b21 a22+b22 … a2n+b2n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a41+b41 a42+b42 … amn+bmn
A − B =	a11−b11 a12−b12 … a1n−b1n a21−b21 a22−b22 … a2n−b2n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a41−b41 a42−b42 … amn−bmn

Dua matriks yang mempunyai ordo (dimensi) yang berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
Contoh

A =

[ 1 2 0 -3 ]

dan B =

[ 3 1 -1 2  ]

A + B =	[ 1 2 0 -3 ]	+	[ 3 1 -1 2 ]	=	[ 4 3 -1 -1 ]
A − B =	[ 1 2 0 -3  ]	−	[ 3 1 -1 2 ]	=	[ -2 1 1 -5  ]

---

Perkalian Matriks

Jika A adalah sebuah matriks berordo m × r dan B adalah sebuah matriks berordo r × n, maka hasil perkalian AB adalah sebuah matriks yang berordo m × n dan setiap elemen dari baris i dan kolom j adalah jumlah dari perkalian elemen-elemen baris i dari A dan kolom j dari B.
Elemen (AB)_ij di baris i dan kolom j dari AB adalah

(AB)_ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j + a_i3b_3j + … + a_irb_rj

Matriks A dan B hanya dapat dikalikan jika banyaknya kolom dari A sama dengan banyaknya baris dari B.
Contoh

A =

[ 1 2 1 0 -3 2  ]

dan B =

[ 3 1 0 1 -1 2 3 0 0 -2 1 1 ]

AB =

[ 1 2 1 0 -3 2 ]

[ 3 1 0 1 -1 2 3 0 0 -2 1 1 ]

=

[ 1 3 7 2 3 -10 -7 2 ]

• Elemen baris 1 kolom 1 dari AB adalah jumlah dari perkalian elemen-elemen di baris 1 dari A dan elemen-elemen kolom 1 dari B, yaitu:
  (AB)₁₁ = (1)(3) + (2)(-1) + (1)(0) = 1
• Elemen baris 1 kolom 2 dari AB adalah jumlah dari perkalian elemen-elemen di baris 1 dari A dan elemen-elemen kolom 2 dari B, yaitu:
  (AB)₁₂ = (1)(1) + (2)(2) + (1)(-2) = 3
• Elemen baris 2 kolom 1 dari AB adalah jumlah dari perkalian elemen-elemen di baris 2 dari A dan elemen-elemen kolom 1 dari B, yaitu:
  (AB)₂₁ = (0)(3) + (-3)(-1) + (2)(0) = 3
• Dan seterusnya

---

Matriks balikan (invers)

Invers dari sebuah matriks A adalah matriks A^-1 dimana A A^-1 = I
Misalnya, jika

A =

[ -3 2 5 -4 ]

, maka A-1 =

[ -2 -1 -2,5 -1,5  ]

karena A A-1 =

[ -3 2 5 -4 ]

[ -2 -1 -2,5 -1,5 ]

=

[ 1 0 0 1  ]

Salah satu cara untuk mencari invers dari sebuah matriks A adalah dengan menggunakan rumus berikut ini

A-1 =	adj(A)
	det(A)

Jika determinan dari matriks itu adalah 0, maka matriks tersebut tidak mempunyai invers dan matriks itu disebut matriks singular.
Cara lain untuk mencari invers dari sebuah matriks adalah dengan menambahkan matriks identitas di sebelah kanan matriks tersebut kemudian menggunakan metode Eliminasi Gauss-Jordan untuk menyederhanakan matriks itu sampai ke bentuk Eselon-baris tereduksi.