rumus integral

INTEGRAL

1.1 Definisi Integral Tak Tentu (Indefinite Integral)

Jika  maka y adalah fungsi yang mempunyai turunan f(x)dan disebut anti turunan

(antiderivate) dari f(x) atau integral tak tentu dari f(x)yang diberi notasi  . Sebaliknya, jika

 karena turunan dari suatu konstanta adalah nol, maka suatu integral tak tentu 

mempunyai suku konstanta sembarang.

1.2 Rumus-rumus Integral Tak Tentu

1.3 Definisi Integral Tentu

Andaikan f(x) didefinisikan dalam selang  Selang ini dibagi menjadi n bagian yang sama 

panjang, yaitu . Maka integral tentu dari f(x) antara x = a dan x =b didefinisikan 

sebagai berikut:

Limit ini pasti ada jika f(x) kontinu sepotong demi sepotong jika

maka menurut dalil pokok dari kalkulus integral, integral tentu diatas dapat dihitung dengan 

rumus :

1.4 Rumus-rumus Integral tentu

 
 
dengan k sebagai konstanta sembarang. 

 

1.5 Integral Parsial 
Prinsip dasar integral parsial : 

1. Salah satunya dimisalkan U
2. Sisinya yang lain (termasuk dx) dianggap sebagai dv

Sehingga bentuk integral parsial adalah sebagai berikut :  
 

1.1 Beberapa Aplikasi dari Integral

a. Perhitungan Luas suatu kurva terhadap sumbu x 


 
 

b. Menghitung luas diantara dua buah kurva 
 
c. Menghitung volume benda putar yang diputar terhadap sumbu koordinat
 
 

hafalan integral dan turunan trigonometri

Berikut triknya : Buatlah dan hafalkan susunan gambar berikut,

Turunan dan Integral Trigonometri

Perhatikan gambar diatas :

panah ke bawah artinya turunan : turunan sin –> cos, turunan cos –> -sin, turunan -sin –> – cos, dan turunan -cos –> sin

panah ke atas artinya turunan : integral sin –> -cos, integral -cos –> -sin, integral -sin –> cos, dan integral cos –> sin

operasi dalam matriks

14 oct 2011

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Jika matriks A dan B mempunyai ordo (dimensi) yang sama, maka

• penjumlahan A + B adalah sebuah matriks yang diperolah dengan cara menjumlahkan setiap elemen A dengan setiap elemen B yang seletak.
• pengurangan A − B adalah sebuah matriks yang diperolah dengan cari mengurangkan setiap elemen B dari setiap element A yang seletak.

Jika A =	a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a41 a42 … amn	dan B =	b11 b12 … b1n b21 b22 … b2n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b41 b42 … bmn
A + B =	a11+b11 a12+b12 … a1n+b1n a21+b21 a22+b22 … a2n+b2n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a41+b41 a42+b42 … amn+bmn
A − B =	a11−b11 a12−b12 … a1n−b1n a21−b21 a22−b22 … a2n−b2n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a41−b41 a42−b42 … amn−bmn

Dua matriks yang mempunyai ordo (dimensi) yang berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
Contoh

A =

[ 1 2 0 -3 ]

dan B =

[ 3 1 -1 2  ]

A + B =	[ 1 2 0 -3 ]	+	[ 3 1 -1 2 ]	=	[ 4 3 -1 -1 ]
A − B =	[ 1 2 0 -3  ]	−	[ 3 1 -1 2 ]	=	[ -2 1 1 -5  ]

---

Perkalian Matriks

Jika A adalah sebuah matriks berordo m × r dan B adalah sebuah matriks berordo r × n, maka hasil perkalian AB adalah sebuah matriks yang berordo m × n dan setiap elemen dari baris i dan kolom j adalah jumlah dari perkalian elemen-elemen baris i dari A dan kolom j dari B.
Elemen (AB)_ij di baris i dan kolom j dari AB adalah

(AB)_ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j + a_i3b_3j + … + a_irb_rj

Matriks A dan B hanya dapat dikalikan jika banyaknya kolom dari A sama dengan banyaknya baris dari B.
Contoh

A =

[ 1 2 1 0 -3 2  ]

dan B =

[ 3 1 0 1 -1 2 3 0 0 -2 1 1 ]

AB =

[ 1 2 1 0 -3 2 ]

[ 3 1 0 1 -1 2 3 0 0 -2 1 1 ]

=

[ 1 3 7 2 3 -10 -7 2 ]

• Elemen baris 1 kolom 1 dari AB adalah jumlah dari perkalian elemen-elemen di baris 1 dari A dan elemen-elemen kolom 1 dari B, yaitu:
  (AB)₁₁ = (1)(3) + (2)(-1) + (1)(0) = 1
• Elemen baris 1 kolom 2 dari AB adalah jumlah dari perkalian elemen-elemen di baris 1 dari A dan elemen-elemen kolom 2 dari B, yaitu:
  (AB)₁₂ = (1)(1) + (2)(2) + (1)(-2) = 3
• Elemen baris 2 kolom 1 dari AB adalah jumlah dari perkalian elemen-elemen di baris 2 dari A dan elemen-elemen kolom 1 dari B, yaitu:
  (AB)₂₁ = (0)(3) + (-3)(-1) + (2)(0) = 3
• Dan seterusnya

---

Matriks balikan (invers)

Invers dari sebuah matriks A adalah matriks A^-1 dimana A A^-1 = I
Misalnya, jika

A =

[ -3 2 5 -4 ]

, maka A-1 =

[ -2 -1 -2,5 -1,5  ]

karena A A-1 =

[ -3 2 5 -4 ]

[ -2 -1 -2,5 -1,5 ]

=

[ 1 0 0 1  ]

Salah satu cara untuk mencari invers dari sebuah matriks A adalah dengan menggunakan rumus berikut ini

A-1 =	adj(A)
	det(A)

Jika determinan dari matriks itu adalah 0, maka matriks tersebut tidak mempunyai invers dan matriks itu disebut matriks singular.
Cara lain untuk mencari invers dari sebuah matriks adalah dengan menambahkan matriks identitas di sebelah kanan matriks tersebut kemudian menggunakan metode Eliminasi Gauss-Jordan untuk menyederhanakan matriks itu sampai ke bentuk Eselon-baris tereduksi.

Metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linier

14 oct 2011

Paling sedikit ada lima cara / metode untuk mencari solusi sistem persamaan linier.

• Eliminasi
• Substitusi
• Grafik
• Matriks Invers
• Eliminasi Gauss/ Eliminasi Gauss-Jordan

Sebagai contoh, marilah kita coba untuk mencari solusi sistem persamaan linier dengan tiga variabel berikut ini

x	+	y	−	z	=	1	(1)
8x	+	3y	−	6z	=	1	(2)
−4x	−	y	+	3z	=	1	(3)

Metode eliminasi

Metode ini bekerja dengan care mengeliminasi (menghilangkan) variabel-variabel di dalam sistem persamaan hingga hanya satu variabel yang tertinggal.

Pertama-tama, lihat persamaan-persamaan yang ada dan coba cari dua persamaan yang mempunya koefisien yang sama (baik positif maupun negative) untuk variabel yang sama. Misalnya, lihat persamaan (1) dan (3). Koefisien untuk y adalah 1 dan -1 untuk masing-masing persamaan. Kita dapat mejumlah kedua persamaan ini untuk menghilangkan y dan kita mendapatkan persamaan (4).

x	+	y	−	z	=	1	(1)
−4x	−	y	+	3z	=	1	(3)
-------------------------							+
−3x			+	2z	=	2	(4)

Perhatikan bahwa persamaan (4) terdiri atas variabel x dan z. Sekarang kita perlu persamaan lain yang terdiri atas variabel yang sama dengan persamaan (4). Untuk mendapatkan persamaan ini, kita akan menghilangkan y dari persamaan (1) dan (2). Dalam persamaan (1) dan (2), koefisien untuk y adalah 1 dan 3 masing-masing. Untuk menghilangkan y, kita kalikan persamaan (1) dengan 3 lalu mengurangkan persamaan (2) dari persamaan (1).

x

+

y

−

z

=

1

(1)

× 3

3x

+

3y

−

3z

=

3

(1)

−8x

+

3y

−

6z

=

1

(2)

−8x

+

3y

−

6z

=

1

(2)

-------------------------

-

−5x

+

3z

=

2

(5)

Dengan persamaan (4) dan (5), mari kita coba untuk menghilangkan z.

−3x

+

2z

=

2

(4)

× 3

−9x

+

6z

=

6

(4)

−5x

+

3z

=

2

(5)

× 2

−10x

+

6z

=

4

(5)

-------------------------

−

x

=

2

(6)

Dari persamaan (6) kita dapatkan x = 2. Sekarang kita bisa subtitusikan (masukkan) nilai dari x ke persamaan (4) untuk mendapatkan nilai z.

−3(2) + 2z	=	2	(4)
−6 + 2z	=	2
2z	=	8
z	=	8 ÷ 2
z	=	4

Akhirnya, kita substitusikan (masukkan) nilai dari z ke persamaan (1) untuk mendapatkany.

2 + y − 4	=	1	(1)
y	=	1 − 2 + 4
y	=	3

Jadi solusi sistem persamaan linier di atas adalah x = 2, y = 3, z = 4.

---

Metode substitusi

Pertama-tama, marilah kita atur persamaan (1) supaya hanya ada 1 variabel di sebelah kiri.

x = 1 − y + z    (1)

Sekarang kita substitusi x ke persamaan (2).

8(1 − y + z) + 3y − 6z	=	1	(2)
8 − 8y + 8z + 3y − 6z	=	1
−5y + 2z	=	1 − 8
−5y + 2z	=	−7	(4)

Dengan cara yang sama seperti di atas, substitusi x ke persamaan (3).

−4(1 − y + z) − y+ 3z	=	1	(3)
−4 + 4y − 4z − y+ 3z	=	1
3y − z	=	1 + 4
3y − z	=	5	(5)

Sekarang kita atur persamaan (5) supaya hanya ada 1 variabel di sebelah kiri.

z = 3y − 5    (6)

Kemudian, substitusi nilai dari z ke persamaan (4).

−5y + 2(3y − 5)	=	−7	(4)
−5y + 6y − 10	=	−7
y	=	−7 + 10
y	=	3

Sekarang kita sudah tahu nilai dari y, kita dapat masukkan nilai ini ke persamaan (6) untuk mencari z.

z	=	3(3) − 5	(6)
z	=	9 − 5
z	=	4

Akhirnya, kita substitusikan nilai dari y dan z ke persamaan (1) untuk mendapatkan nilai x.

x	=	1 − 3 + 4	(1)
x	=	2

Jadi, kita telah menemukan solusi untuk sistem persamaan linier di atas: x = 2, y = 3, z = 4.

---

Metode grafik

Penyelesaian sistem persamaan linier dengan metode grafik dilakukan dengan cara menggambar garis garis atau bidang planar yang merupakan representasi dari persamaan-persamaan yang ada dalam sistem tersebut. Solusinya adalah koordinat-koordinat yang merupakan titik potong dari garis-garis ataupun bidang-bidang planar itu.

Sebagai contoh, marilah kita lihat sistem persamaan liniear dengan dua variabel berikut ini.

x	+	y	=	3	(1)
2x	−	y	=	−3	(2)

Gambar kedua garis dari persamaan-persamaan di atas.

Seperti terlihat pada grafik di atas, kedua garis itu bertemu (mempunyai titik potong) pada titik (0,3). Ini adalah solusi dari sistem persamaan linier tersebut, yaitu x = 0, y = 3.

Untuk persamaan linier dengan tiga variabel, solusinya adalah titik pertemuan dari tiga bidang planar dari masing-masing persamaan.

---

Metode Matriks Invers

System persamaan linier yang terdiri atas persamaan-persamaan (1), (2), dan (3) di atas dapat juga ditulis dengan bentuk notasi matriks AB = C seperti berikut

1 1 -1 8 3 -6 -4 -1 3

x y z

=

1 1 1

Solusinya adalah matriks B. Agar kita dapat mengisolasi B sendirian di salah satu sisi dari persamaan di atas, kita kalikan kedua sisi dari persamaan di atas dengan invers dari matriks A.

A−1AB	=	A−1C
B	=	A−1C

Sekarang, untuk mencari B kita perlu mencari A⁻¹. Silakan melihat halaman tentang matriks untuk belajar bagaimana mencari invers dari sebuah matriks.

A−1 =	-3 2 3 0 1 2 -4 3 5
B =	-3 2 3 0 1 2 -4 3 5	1 1 1
B =	2 3 4

Jadi solusinya adalah x = 2, y = 3, z = 4.

Metode ini dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dengan n variabel. Kalkulator di atas juga menggunakan metode ini untuk menyelesaikan sistem persamaan linier.

---

Eliminasi Gauss / Eliminasi Gauss-Jordan

Sistem persamaan liniear yang terdiri atas persamaan-persamaan(1), (2), dan (3) dapat juga dinyatakan dalam bentuk matriks teraugmentasi A seperti berikut

A =	1 1 -1 1 8 3 -6 1 -4 -1 3 1

Dengan melakukan serangkaian operasi baris (Eliminasi Gauss), kita dapat menyederhanakan matriks di atas untuk menjadi matriks Eselon-baris.

A =	1 0,375 -0,75 0,125 0 1 -0,4 1,4 0 0 1 4

Kemudian kita bisa substitusikan kembali nilai-nilai yang kita dapat untuk mencari nilai dari semua variabel. Atau, kita juga bisa meneruskan dengan serangkaian operasi baris lagi sehingga matriks di atas menjadi matriks yang Eselon-baris tereduksi (dengan menggunakan Eliminasi Gauss-Jordan).

A =	1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 4

Dengan melakukan operasi Eliminasi Gauss-Jordan, kita mendapatkan solusi dari sistem persamaan linier di atas pada kolom terakhir: x = 2, y = 3, z = 4.

Untuk melihat secara mendetil operasi baris yang diperlukan, silakan melihat halaman tentang Eliminasi Gauss-Jordan.