HARIAN KULIAH SAUVA

Selasa, 01 November 2011

gerak benda menggelinding

Benda menggelinding adalah benda yang mengalami dua gerak langsung yaitu translasi dan rotasi. Contohnya seperti gerak roda sepeda, motor atau mobil yang berjalan. Selain berotasi roda juga bergerak translasi (lurus).
Gerak menggelinding adalah suatu gerak dari benda tegar yang melakukan gerak translasi sekaligus melakukan gerak rotasi. Benda tegar yang melakukan gerak menggelinding maka selama gerakan berlaku hukum kekekalan energi mekanik, yang diformulasikan sebagai berikut:

E_M (mekanik) = E_P ( potensial) + E_K (translasi) + E_K (rotasi)

E_{M =} mgh + 1/2 mv² + 1/2 Iω²

Energi kinetik translasi dihitung berdasarkan asumsi bahwa benda adalah suatu partikel yang kelajuan liniernya sama dengan kelajuan pusat massa sedangkan energi kinetik rotasi dihitung berdasarkan asumsi bahwa benda tegar berotasi terhadap poros yang melewati pusat massa.
Soal dan Penyelesaian :
Sebuah silinder pejal bermassa M dan berjari-jari R diletakkan pada bidang miring dengan kemiringan θ terhadap bidang horisontal yang mempunyai kekasaran tertentu. Setelah dilepas silinder tersebut menggelinding, tentukan kecepatan silinder setelah sampai di kaki bidang miring!
Cara penyelesaiannya:

Persoalan ini dapat diselesaikan menggunakan konsep dinamika atau menggunakan hukum kekekalan tenaga mekanik.
a. Penyelesaian secara dinamika
Silinder menggelinding karena bidang miring mempunyai tingkat kekasaran tertentu. Momen gaya terhadap sumbu putar yang menyebabkan silinder berotasi dengan percepatan sudut α ditimbulkan oleh gaya gesek f, yang dapat ditentukan melalui fR = Iα
Karena momen inersia silinder terhadap sumbunya adalah I =1/2MR² dan percepatan linier a = αR, maka gaya gesek dapat dinyatakan sebagai f = ½ Ma
Pada gerak menggelinding tersebut pusat massa silinder bergerak translasi, sehingga berlaku hukum kedua Newton.

Mg sin θ – f = Ma

Setelah memasukkan harga f di atas dapat diketahui percepatan linier silinder, yaitu a = 2/3 g Sinθ
Dengan menggunakan hubungan v²= v_o²+ 2as, dan mengingat kecepatan silinder saat terlepas v_o = 0 dan h = s sin θ, maka
kecepatan silinder setelah sampai di ujung kaki bidang adalah:

V² = 4/3 gh

Terlihat bahwa kecepatan benda menggelinding lebih lambat daripada bila benda tersebut tergelincir (meluncur) tanpa gesekan yang kecepatannya:

V²= 2gh

b. Penyelesaian menggunakan kekekalan tenaga mekanik

Pada gerak menggelinding berlaku hukum kekekalan tenaga mekanik, tenaga mekanik silinder pada kedudukan 1 adalah:

E_I = Ep_I = Mg (h + R)

Sedangkan tenaga mekanik silinder pada kedudukan 2 adalah:

E₂ = Ep₂ + Ek₂+ EkR₂
mgR + 1/2 mv² + 1/2 Iω²

Perubahan tenaga mekanik yang terjadi adalah
W_f= ΔE = E₂– E₁ = ½ Mv ² + 1/2 Iω² − Mgh
Karena Wf = 0, maka dengan memasukkan momen inersia silinder I =1/2MR²
ϖ = v/R , kecepatan silinder setelah sampai di ujung kaki bidang miring besarnya adalah:

V² = 4/3 gh

hukum newton

Hukum gerak Newton adalah tiga hukum fisika yang menjadi dasar mekanika klasik. Hukum ini menggambarkan hubungan antara gaya yang bekerja pada suatu benda dan gerak yang disebabkannya. Hukum ini telah dituliskan dengan pembahasaan yang berbeda-beda selama hampir 3 abad, dan dapat dirangkum sebagai berikut:

Hukum Pertama: setiap benda akan memiliki kecepatan yang konstan kecuali ada gaya yang resultannya tidak nol bekerja pada benda tersebut. Berarti jika resultan gaya nol, maka pusat massa dari suatu benda tetap diam, atau bergerak dengan kecepatan konstan (tidak mengalami percepatan).

Lex I: Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare.

Hukum I: Setiap benda akan mempertahankan keadaan diam atau bergerak lurus beraturan, kecuali ada gaya yang bekerja untuk mengubahnya.

Hukum ini menyatakan bahwa jika resultan gaya (jumlah vektor dari semua gaya yang bekerja pada benda) bernilai nol, maka kecepatan benda tersebut konstan. Dirumuskan secara matematis menjadi:

$\sum \mathbf{F} = 0 \Rightarrow \frac{d \mathbf{v} }{dt} = 0.$

Artinya :

Sebuah benda yang sedang diam akan tetap diam kecuali ada resultan gaya yang tidak nol bekerja padanya.
Sebuah benda yang sedang bergerak, tidak akan berubah kecepatannya kecuali ada resultan gaya yang tidak nol bekerja padanya.

Hukum pertama newton adalah penjelasan kembali dari hukum inersia yang sudah pernah dideskripsikan oleh Galileo. Dalam bukunya Newton memberikan penghargaan pada Galileo untuk hukum ini. Aristoteles berpendapat bahwa setiap benda memilik tempat asal di alam semesta: benda berat seperti batu akan berada di atas tanah dan benda ringan seperti asap berada di langit. Bintang-bintang akan tetap berada di surga. Ia mengira bahwa sebuah benda sedang berada pada kondisi alamiahnya jika tidak bergerak, dan untuk satu benda bergerak pada garis lurus dengan kecepatan konstan diperlukan sesuatu dari luar benda tersebut yang terus mendorongnya, kalau tidak benda tersebut akan berhenti bergerak. Tetapi Galileo menyadari bahwa gaya diperlukan untuk mengubah kecepatan benda tersebut (percepatan), tapi untuk mempertahankan kecepatan tidak diperlukan gaya. Sama dengan hukum pertama Newton : Tanpa gaya berarti tidak ada percepatan, maka benda berada pada kecepatan konstan.

Hukum Kedua: sebuah benda dengan massa M mengalami gaya resultan sebesar F akan mengalami percepatan a yang arahnya sama dengan arah gaya, dan besarnya berbanding lurus terhadap F dan berbanding terbalik terhadap M. atau F=Ma. Bisa juga diartikan resultan gaya yang bekerja pada suatu benda sama dengan turunan dari momentum linear benda tersebut terhadap waktu.

Hukum kedua menyatakan bahwa total gaya pada sebuah partikel sama dengan banyaknya perubahan momentum linier p terhadap waktu :

$\mathbf{F} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}(m\mathbf v)}{\mathrm{d}t},$

Karena hukumnya hanya berlaku untuk sistem dengan massa konstan, variabel massa (sebuah konstan) dapat dikeluarkan dari operator diferensial dengan menggunakan aturan diferensiasi. Maka,

$\mathbf{F} = m\,\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t} = m\mathbf{a},$

Dengan F adalah total gaya yang bekerja, m adalah massa benda, dan a adalah percepatan benda. Maka total gaya yang bekerja pada suatu benda menghasilkan percepatan yang berbanding lurus.
Massa yang bertambah atau berkurang dari suatu sistem akan mengakibatkan perubahan dalam momentum. Perubahan momentum ini bukanlah akibat dari gaya. Untuk menghitung sistem dengan massa yang bisa berubah-ubah, diperlukan persamaan yang berbeda.
Sesuai dengan hukum pertama, turunan momentum terhadap waktu tidak nol ketika terjadi perubahan arah, walaupun tidak terjadi perubahan besaran. Contohnya adalah gerak melingkar beraturan. Hubungan ini juga secara tidak langsung menyatakan kekekalan momentum: Ketika resultan gaya yang bekerja pada benda nol, momentum benda tersebut konstan. Setiap perubahan gaya berbanding lurus dengan perubahan momentum tiap satuan waktu.
Hukum kedua ini perlu perubahan jika relativitas khusus diperhitungkan, karena dalam kecepatan sangat tinggi hasil kali massa dengan kecepatan tidak mendekati momentum sebenarnya.

Impuls

Impuls J muncul ketika sebuah gaya F bekerja pada suatu interval waktu Δt, dan dirumuskan sebagai

$\mathbf{J} = \int_{\Delta t} \mathbf F \,\mathrm{d}t .$

Impuls adalah suatu konsep yang digunakan untuk menganalisis tumbukan.

Sistem dengan massa berubah

Sistem dengan massa berubah, seperti roket yang bahan bakarnya digunakan dan mengeluarkan gas sisa, tidak termasduk dalam sistem tertutup dan tidak dapat dihitung dengan hanya mengubah massa menjadi sebuah fungsi dari waktu di hukum kedua. Alasannya, seperti yang tertulis dalam An Introduction to Mechanics karya Kleppner dan Kolenkow, adalah bahwa hukum kedua Newton berlaku terhadap partikel-partikel secara mendasar. Pada mekanika klasik, partikel memiliki massa yang konstant. Dalam kasus partikel-partikel dalam suatu sistem yang terdefinisikan dengan jelas, hukum Newton dapat digunakan dengan menjumlahkan semua partikel dalam sistem:

$\mathbf{F}_{\mathrm{total}} = M\mathbf{a}_\mathrm{pm}$

dengan F_total adalah total gaya yang bekerja pada sistem, M adalah total massa dari sistem, dan a_pm adalah percepatan dari pusat massa sistem.
Sistem dengan massa yang berubah-ubah seperti roket atau ember yang berlubang biasanya tidak dapat dihitung seperti sistem partikel, maka hukum kedua Newton tidak dapat digunakan langsung. Persamaan baru digunakan untuk menyelesaikan soal seperti itu dengan cara menata ulang hukum kedua dan menghitung momentum yang dibawa oleh massa yang masuk atau keluar dari sistem:

$\mathbf F + \mathbf{u} \frac{\mathrm{d} m}{\mathrm{d}t} = m {\mathrm{d} \mathbf v \over \mathrm{d}t}$

dengan u adalah kecepatan dari massa yang masuk atau keluar relatif terhadap pusat massa dari obyek utama. Dalam beberapa konvensi, besar (u dm/dt) di sebelah kiri persamaan, yang juga disebut dorongan, didefinisikan sebagai gaya (gaya yang dikeluarkan oleh suatu benda sesuai dengan berubahnya massa, seperti dorongan roket) dan dimasukan dalam besarnya F. Maka dengan mengubah definisi percepatan, persamaan tadi menjadi

$\mathbf F = m \mathbf a.$

Sejarah

Hukum kedua Newton dalam bahasa aslinya (latin) berbunyi:

Lex II: Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.

Diterjmahkan dengan cukup tepat oleh Motte pada tahun 1729 menjadi:

Law II: The alteration of motion is ever proportional to the motive force impress'd; and is made in the direction of the right line in which that force is impress'd.

Yang dalam Bahasa Indonesia berarti:

Hukum Kedua: Perubahan dari gerak selalu berbanding lurus terhadap gaya yang dihasilkan / bekerja, dan memiliki arah yang sama dengan garis normal dari titik singgung gaya dan benda.

Hukum Ketiga: gaya aksi dan reaksi dari dua benda memiliki besar yang sama, dengan arah terbalik, dan segaris. Artinya jika ada benda A yang memberi gaya sebesar F pada benda B, maka benda B akan memberi gaya sebesar –F kepada benda A. F dan –F memiliki besar yang sama namun arahnya berbeda. Hukum ini juga terkenal sebagai hukum aksi-reaksi, dengan F disebut sebagai aksi dan –F adalah reaksinya.

Ketiga hukum gerak ini pertama dirangkum oleh Isaac Newton dalam karyanya Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, pertama kali diterbitkan pada 5 Juli 1687. Newton menggunakan karyanya untuk menjelaskan dan meniliti gerak dari bermacam-macam benda fisik maupun sistem. Contohnya dalam jilid tiga dari naskah tersebut, Newton menunjukkan bahwa dengan menggabungkan antara hukum gerak dengan hukum gravitasi umum, ia dapat menjelaskan hukum pergerakan planet milik Kepler.

“

Lex III: Actioni contrariam semper et æqualem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse æquales et in partes contrarias dirigi.

”

“

Hukum ketiga : Untuk setiap aksi selalu ada reaksi yang sama besar dan berlawanan arah: atau gaya dari dua benda pada satu sama lain selalu sama besar dan berlawanan arah.

”

Benda apapun yang menekan atau menarik benda lain mengalami tekanan atau tarikan yang sama dari benda yang ditekan atau ditarik. Kalau anda menekan sebuah batu dengan jari anda, jari anda juga ditekan oleh batu. Jika seekor kuda menarik sebuah batu dengan menggunakan tali, maka kuda tersebut juga "tertarik" ke arah batu: untuk tali yang digunakan, juga akan menarik sang kuda ke arah batu sebesar ia menarik sang batu ke arah kuda.
Hukum ketiga ini menjelaskan bahwa semua gaya adalah interaksi antara benda-benda yang berbeda,^[20] maka tidak ada gaya yang bekerja hanya pada satu benda. Jika benda A mengerjakan gaya pada benda B, benda B secara bersamaan akan mengerjakan gaya dengan besar yang sama pada benda A dan kedua gaya segaris. Seperti yang ditunjukan di diagram, para peluncur es (Ice skater) memberikan gaya satu sama lain dengan besar yang sama, tapi arah yang berlawanan. Walaupun gaya yang diberikan sama, percepatan yang terjadi tidak sama. Peluncur yang massanya lebih kecil akan mendapat percepatan yang lebih besar karena hukum kedua Newton. Dua gaya yang bekerja pada hukum ketiga ini adalah gaya yang bertipe sama. Misalnya antara roda dengan jalan sama-sama memberikan gaya gesek.
Secara sederhananya, sebuah gaya selalu bekerja pada sepasang benda, dan tidak pernah hanya pada sebuah benda. Jadi untuk setiap gaya selalu memiliki dua ujung. Setiap ujung gaya ini sama kecuali arahnya yang berlawanan. Atau sebuah ujung gaya adalah cerminan dari ujung lainnya.
Secara matematis, hukum ketiga ini berupa persamaan vektor satu dimensi, yang bisa dituliskan sebagai berikut. Asumsikan benda A dan benda B memberikan gaya terhadap satu sama lain.

$\sum \mathbf{F}_{a,b} = - \sum \mathbf{F}_{b,a}$

Dengan

F_a,b adalah gaya-gaya yang bekerja pada A oleh B, dan

F_b,a adalah gaya-gaya yang bekerja pada B oleh A.

Newton menggunakan hukum ketiga untuk menurunkan hukum kekekalan momentum, namun dengan pengamatan yang lebih dalam, kekekalan momentum adalah ide yang lebih mendasar (diturunkan melalui teorema Noether dari relativitas Galileo dibandingkan hukum ketiga, dan tetap berlaku pada kasus yang membuat hukum ketiga newton seakan-akan tidak berlaku. Misalnya ketika medan gaya memiliki momentum, dan dalam mekanika kuantum.

manfaat ilmu kimia dan teknik sipil

banyak hubungannya dengan ilmu bahan bangunan.
misalnya:
1. Penggunaan zat kimia untuk mempercepat proses pengeringan beton.
2. Penggunaan bahan sintetik dalam dunia konstruksi, misalnya: lapisan waterproofing pada beton.
3. Kadar keasaman pada air akan mempengaruhi kwalitas dari beton.
4. Jenis, kualitas dan penggunaan cat pada kayu, beton ,besi.
5. Zat kimia untuk mengawetkan kayu.

Jumat, 14 Oktober 2011

operasi dalam matriks

14 oct 2011

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Jika matriks A dan B mempunyai ordo (dimensi) yang sama, maka

penjumlahan A + B adalah sebuah matriks yang diperolah dengan cara menjumlahkan setiap elemen A dengan setiap elemen B yang seletak.
pengurangan A − B adalah sebuah matriks yang diperolah dengan cari mengurangkan setiap elemen B dari setiap element A yang seletak.

Jika A =

a₁₁	a₁₂	…	a_1n
a₂₁	a₂₂	…	a_2n
⋮	⋮	⋱	⋮
a₄₁	a₄₂	…	a_mn

dan B =

b₁₁	b₁₂	…	b_1n
b₂₁	b₂₂	…	b_2n
⋮	⋮	⋱	⋮
b₄₁	b₄₂	…	b_mn

A + B =

a₁₁+b₁₁	a₁₂+b₁₂	…	a_1n+b_1n
a₂₁+b₂₁	a₂₂+b₂₂	…	a_2n+b_2n
⋮	⋮	⋱	⋮
a₄₁+b₄₁	a₄₂+b₄₂	…	a_mn+b_mn

A − B =

a₁₁−b₁₁	a₁₂−b₁₂	…	a_1n−b_1n
a₂₁−b₂₁	a₂₂−b₂₂	…	a_2n−b_2n
⋮	⋮	⋱	⋮
a₄₁−b₄₁	a₄₂−b₄₂	…	a_mn−b_mn

Dua matriks yang mempunyai ordo (dimensi) yang berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
Contoh

A =

[

1	2
0	-3

]

dan B =

[

3	1
-1	2

]

A + B =

[

1	2
0	-3

]

[

3	1
-1	2

]

[

4	3
-1	-1

]

A − B =

[

1	2
0	-3

]

−

[

3	1
-1	2

]

[

-2	1
1	-5

]

Perkalian Matriks

Jika A adalah sebuah matriks berordo m × r dan B adalah sebuah matriks berordo r × n, maka hasil perkalian AB adalah sebuah matriks yang berordo m × n dan setiap elemen dari baris i dan kolom j adalah jumlah dari perkalian elemen-elemen baris i dari A dan kolom j dari B.
Elemen (AB)_ij di baris i dan kolom j dari AB adalah

(AB)_ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j + a_i3b_3j + … + a_irb_rj

Matriks A dan B hanya dapat dikalikan jika banyaknya kolom dari A sama dengan banyaknya baris dari B.
Contoh

A =

[

1	2	1
0	-3	2

]

dan B =

[

3	1	0	1
-1	2	3	0
0	-2	1	1

]

AB =

[

1	2	1
0	-3	2

]

[

3	1	0	1
-1	2	3	0
0	-2	1	1

]

[

1	3	7	2
3	-10	-7	2

]

Elemen baris 1 kolom 1 dari AB adalah jumlah dari perkalian elemen-elemen di baris 1 dari A dan elemen-elemen kolom 1 dari B, yaitu:
(AB)₁₁ = (1)(3) + (2)(-1) + (1)(0) = 1
Elemen baris 1 kolom 2 dari AB adalah jumlah dari perkalian elemen-elemen di baris 1 dari A dan elemen-elemen kolom 2 dari B, yaitu:
(AB)₁₂ = (1)(1) + (2)(2) + (1)(-2) = 3
Elemen baris 2 kolom 1 dari AB adalah jumlah dari perkalian elemen-elemen di baris 2 dari A dan elemen-elemen kolom 1 dari B, yaitu:
(AB)₂₁ = (0)(3) + (-3)(-1) + (2)(0) = 3
Dan seterusnya

Matriks balikan (invers)

Invers dari sebuah matriks A adalah matriks A^-1 dimana A A^-1 = I
Misalnya, jika

A =

[

-3	2
5	-4

]

, maka A^-1 =

[

-2	-1
-2,5	-1,5

]

karena A A^-1 =

[

-3	2
5	-4

]

[

-2	-1
-2,5	-1,5

]

[

1	0
0	1

]

Salah satu cara untuk mencari invers dari sebuah matriks A adalah dengan menggunakan rumus berikut ini

A^-1 =	adj(A)
	det(A)

Jika determinan dari matriks itu adalah 0, maka matriks tersebut tidak mempunyai invers dan matriks itu disebut matriks singular.
Cara lain untuk mencari invers dari sebuah matriks adalah dengan menambahkan matriks identitas di sebelah kanan matriks tersebut kemudian menggunakan metode Eliminasi Gauss-Jordan untuk menyederhanakan matriks itu sampai ke bentuk Eselon-baris tereduksi.

Metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linier

14 oct 2011

Paling sedikit ada lima cara / metode untuk mencari solusi sistem persamaan linier.

Eliminasi
Substitusi
Grafik
Matriks Invers
Eliminasi Gauss/ Eliminasi Gauss-Jordan

Sebagai contoh, marilah kita coba untuk mencari solusi sistem persamaan linier dengan tiga variabel berikut ini

x	+	y	−	z	=	1	(1)
8x	+	3y	−	6z	=	1	(2)
−4x	−	y	+	3z	=	1	(3)

Metode eliminasi

Metode ini bekerja dengan care mengeliminasi (menghilangkan) variabel-variabel di dalam sistem persamaan hingga hanya satu variabel yang tertinggal.

Pertama-tama, lihat persamaan-persamaan yang ada dan coba cari dua persamaan yang mempunya koefisien yang sama (baik positif maupun negative) untuk variabel yang sama. Misalnya, lihat persamaan (1) dan (3). Koefisien untuk y adalah 1 dan -1 untuk masing-masing persamaan. Kita dapat mejumlah kedua persamaan ini untuk menghilangkan y dan kita mendapatkan persamaan (4).

x	+	y	−	z	=	1	(1)
−4x	−	y	+	3z	=	1	(3)
-------------------------							+
−3x			+	2z	=	2	(4)

Perhatikan bahwa persamaan (4) terdiri atas variabel x dan z. Sekarang kita perlu persamaan lain yang terdiri atas variabel yang sama dengan persamaan (4). Untuk mendapatkan persamaan ini, kita akan menghilangkan y dari persamaan (1) dan (2). Dalam persamaan (1) dan (2), koefisien untuk y adalah 1 dan 3 masing-masing. Untuk menghilangkan y, kita kalikan persamaan (1) dengan 3 lalu mengurangkan persamaan (2) dari persamaan (1).

−

(1)

× 3

−

(1)

−8x

−

(2)

−8x

−

(2)

-------------------------

−5x

(5)

Dengan persamaan (4) dan (5), mari kita coba untuk menghilangkan z.

−3x

(4)

× 3

−9x

(4)

−5x

(5)

× 2

−10x

(5)

-------------------------

−

(6)

Dari persamaan (6) kita dapatkan x = 2. Sekarang kita bisa subtitusikan (masukkan) nilai dari x ke persamaan (4) untuk mendapatkan nilai z.

−3(2) + 2z	=	2	(4)
−6 + 2z	=	2
2z	=	8
z	=	8 ÷ 2
z	=	4

Akhirnya, kita substitusikan (masukkan) nilai dari z ke persamaan (1) untuk mendapatkany.

2 + y − 4	=	1	(1)
y	=	1 − 2 + 4
y	=	3

Jadi solusi sistem persamaan linier di atas adalah x = 2, y = 3, z = 4.

Metode substitusi

Pertama-tama, marilah kita atur persamaan (1) supaya hanya ada 1 variabel di sebelah kiri.

x = 1 − y + z (1)

Sekarang kita substitusi x ke persamaan (2).

8(1 − y + z) + 3y − 6z	=	1	(2)
8 − 8y + 8z + 3y − 6z	=	1
−5y + 2z	=	1 − 8
−5y + 2z	=	−7	(4)

Dengan cara yang sama seperti di atas, substitusi x ke persamaan (3).

−4(1 − y + z) − y+ 3z	=	1	(3)
−4 + 4y − 4z − y+ 3z	=	1
3y − z	=	1 + 4
3y − z	=	5	(5)

Sekarang kita atur persamaan (5) supaya hanya ada 1 variabel di sebelah kiri.

z = 3y − 5 (6)

Kemudian, substitusi nilai dari z ke persamaan (4).

−5y + 2(3y − 5)	=	−7	(4)
−5y + 6y − 10	=	−7
y	=	−7 + 10
y	=	3

Sekarang kita sudah tahu nilai dari y, kita dapat masukkan nilai ini ke persamaan (6) untuk mencari z.

z	=	3(3) − 5	(6)
z	=	9 − 5
z	=	4

Akhirnya, kita substitusikan nilai dari y dan z ke persamaan (1) untuk mendapatkan nilai x.

x	=	1 − 3 + 4	(1)
x	=	2

Jadi, kita telah menemukan solusi untuk sistem persamaan linier di atas: x = 2, y = 3, z = 4.

Metode grafik

Penyelesaian sistem persamaan linier dengan metode grafik dilakukan dengan cara menggambar garis garis atau bidang planar yang merupakan representasi dari persamaan-persamaan yang ada dalam sistem tersebut. Solusinya adalah koordinat-koordinat yang merupakan titik potong dari garis-garis ataupun bidang-bidang planar itu.

Sebagai contoh, marilah kita lihat sistem persamaan liniear dengan dua variabel berikut ini.

x	+	y	=	3	(1)
2x	−	y	=	−3	(2)

Gambar kedua garis dari persamaan-persamaan di atas.

Graph of equation (1) and (2) showing the intersection of the lines.

Seperti terlihat pada grafik di atas, kedua garis itu bertemu (mempunyai titik potong) pada titik (0,3). Ini adalah solusi dari sistem persamaan linier tersebut, yaitu x = 0, y = 3.

Untuk persamaan linier dengan tiga variabel, solusinya adalah titik pertemuan dari tiga bidang planar dari masing-masing persamaan.

Metode Matriks Invers

System persamaan linier yang terdiri atas persamaan-persamaan (1), (2), dan (3) di atas dapat juga ditulis dengan bentuk notasi matriks AB = C seperti berikut

1	1	-1
8	3	-6
-4	-1	3

Solusinya adalah matriks B. Agar kita dapat mengisolasi B sendirian di salah satu sisi dari persamaan di atas, kita kalikan kedua sisi dari persamaan di atas dengan invers dari matriks A.

A⁻¹AB	=	A⁻¹C
B	=	A⁻¹C

Sekarang, untuk mencari B kita perlu mencari A⁻¹. Silakan melihat halaman tentang matriks untuk belajar bagaimana mencari invers dari sebuah matriks.

A⁻¹ =

-3	2	3
0	1	2
-4	3	5

B =

-3	2	3
0	1	2
-4	3	5

B =

Jadi solusinya adalah x = 2, y = 3, z = 4.

Metode ini dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dengan n variabel. Kalkulator di atas juga menggunakan metode ini untuk menyelesaikan sistem persamaan linier.

Eliminasi Gauss / Eliminasi Gauss-Jordan

Sistem persamaan liniear yang terdiri atas persamaan-persamaan(1), (2), dan (3) dapat juga dinyatakan dalam bentuk matriks teraugmentasi A seperti berikut

A =

1	1	-1	1
8	3	-6	1
-4	-1	3	1

Dengan melakukan serangkaian operasi baris (Eliminasi Gauss), kita dapat menyederhanakan matriks di atas untuk menjadi matriks Eselon-baris.

A =

1	0,375	-0,75	0,125
0	1	-0,4	1,4
0	0	1	4

Kemudian kita bisa substitusikan kembali nilai-nilai yang kita dapat untuk mencari nilai dari semua variabel. Atau, kita juga bisa meneruskan dengan serangkaian operasi baris lagi sehingga matriks di atas menjadi matriks yang Eselon-baris tereduksi (dengan menggunakan Eliminasi Gauss-Jordan).

A =

1	0	0	2
0	1	0	3
0	0	1	4

Dengan melakukan operasi Eliminasi Gauss-Jordan, kita mendapatkan solusi dari sistem persamaan linier di atas pada kolom terakhir: x = 2, y = 3, z = 4.

Untuk melihat secara mendetil operasi baris yang diperlukan, silakan melihat halaman tentang Eliminasi Gauss-Jordan.

METODE KLASIFIKASI TANAH

14 oct 2011

Jika kita mendapatkan suatu sampel tanah maka diperlukan metode standar untuk mengklasifikasikan sampel tanah tersebut. Klasifikasi tanah berguna untuk :

Nama yang umum, misalnya pasir, lanau, lempung, pengertiannya masih terlalu luas, sehinga sulit untuk diaplikasikan, sehingga diperlukan klasifikasi yang lebig spesifik
Sebagai bahasa komunikasi antar sesama engineer maupun dengan awam
Sebagai panduan awal untuk mengetahui perilaku tanah tersebut untuk keperluan desain
Sebagai tahap awal dari suatu urutan desain

Terdapat 3 macam metode klasifikasi yang sering digunakan :

USDA

United States Department of Agriculture
Berdasarkan data hasil uji saringan (sieve analysis)
Hanya untuk tanah yang lolos saringan No. 10
Jika tanah berukuran > No. 10, maka dinyatakan “berpasir” atau “berkerikil”

AAHSTO

American Association of State Highway and Transportation Officials
Untuk mengetahui, secara relatif, kualitas tanah yang akan digunakan sebagai material timbunan untuk base, sub base, dan sub grade
Data yang digunakan ; data hasil uji saringan (sieve analysis) dan data hasil uji Atterberg Limits
Tanah digongkan menjadi 7 golongan utama (A1 hingga A7)
Makin besar angka di belakang “A” maka kualitas nya makin jelek untuk bahan sub grade

GI (Group Index) digunakan untuk kualitas sub grade
GI = (F-35)[0.2+0.005(LL-40)]+0.01(F-15)(PI-10)

F = % lolos saringan N0. 200

Nilai Group Index	Kelas Subgrade
Tanah A - 1 - a	Sangat Baik
0 - 1	Baik
2 - 4	Sedang
5 - 9	Buruk
10 - 20	Sangat Buruk

USCS

Unified Soil Classification System
Klasifikasi yang paling sering digunakan oleh engineer geoteknik
W = Well graded (gradasi baik)
P = Poorly Graded (gradasi buruk)
C = Clay (lempung)
O = Organic (tanah organik)
Pt = Peats (gambut)
L = Low plasticity (plastisitas rendah)
H = High plasticity (plastisitas tinggi)
G = Gravel (kerikil)
S = Sand (pasir)

CARA MUDAH MEMPELAJARI DAN MENGINGAT INDEX PROPERTIES DARI TANAH

14 oct 2011

Kadang-kadang sulit bagi kita mengingat rumus-rumus index properties tanah, walaupun seharusnya index properties itu jangan di hapal melainkan dimengerti, karena jumlahnya cukup banyak, apalagi kadang-kadang kita tidak bisa langsung mendapatkan index yang kita inginkan melainkan harus menurunkan rumus dasar terlebih dahulu.

Dalam buku Holtz and Kovacs, disarankan 4 langkah mudah sebagai berikut :

Hafalkan definisi dasar dari index properti yang utama yaitu :

Kadar air (w), adalah berat air per berat basah dalam persen = (w_w/w_s) x 100%
Angka pori (e), adalah perbandingan antara volume pori dibagi dengan volume tanah kering = V_v/V_s
Porositas (n), adalah perbandingan antara volume pori dibagi dengan volume total dalam persen = (V_v/V) x 100%
Berat jenis tanah kering (g), adalah perbandingan antara berat tanah dibagi dengan volume tanah = W/V
Derajat kejenuhan (Sr), perbandingan antara volume air dibagi dengan volume pori dalam persen = (V_w/V_v) x 100%

Gambarkan diagram 3 fase, berikut dengan pengertiannya (lihat diagram 3 fase)

Jika nilainya tidak diberikan, asumsikan Va = 1 dan atau V = 1
Selalu gunakan persamaan berikut :

g_w . Sr . e = w . g_s